Integrales de Funciones Racionales — Fracciones Parciales (desde cero)

Integrales de Funciones Racionales — Fracciones Parciales

Desde cero y paso a paso: cuándo se usa, cómo descomponer y cómo integrar. Casos: raíces reales simples, raíces reales múltiples y factores cuadráticos irreducibles (raíces complejas).

0) ¿Qué es una función racional y cuándo aplicar fracciones parciales?

Una función racional es $R(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ con $P,Q$ polinomios y $Q\neq0$. Buscamos reescribirla como suma de términos elementales cuya integral es conocida.

Condición previa (fracción propia): necesitás $\deg P<\deg Q$. Si no, hacé división de polinomios para escribir $R(x)=S(x)+\dfrac{P_1(x)}{Q(x)}$; integrá $\int S(x)dx$ (polinomio) y aplicá fracciones parciales a $\dfrac{P_1}{Q}$.

Factorización real de $Q$: escribí $Q(x)$ como producto de factores lineales reales $(x-r)$ y cuadráticos irreducibles $ax^2+bx+c$ con $b^2-4ac<0$. De ahí salen los tres casos.

1) Formas canónicas de la descomposición

Tipo en $Q(x)$	Descomposición (ansatz)	Notas
Lineal simple $(x-r)$	$\dfrac{A}{x-r}$	Coeficiente por Heaviside: $A=\dfrac{P(r)}{Q'(r)}$.
Lineal múltiple $(x-r)^m$	$\dfrac{A_1}{x-r}+\dfrac{A_2}{(x-r)^2}+\cdots+\dfrac{A_m}{(x-r)^m}$	Sistema por igualación de coeficientes / evaluación y derivación en $x=r$.
Cuadrático irreducible $ax^2+bx+c$	$\dfrac{Bx+C}{ax^2+bx+c}$	Si se repite $n$ veces: suma de $\dfrac{B_kx+C_k}{(ax^2+bx+c)^k}$.

2) Cómo hallar los coeficientes

Heaviside (raíces simples)

Si $Q(x)=(x-r)Q_1(x)$ con $Q_1(r)\ne0$, entonces

$\displaystyle A=\frac{P(r)}{Q'(r)}=\lim_{x\to r}(x-r)\,\frac{P(x)}{Q(x)}$

Repetidas $(x-r)^m$

Multiplicá por el denominador común y igualá coeficientes. Alternativa: evaluá/derivá en $x=r$ hasta cerrar el sistema para $A_1,\dots,A_m$.

Cuadrática irreducible

Planteá $\dfrac{Bx+C}{ax^2+bx+c}$, expandí e igualá coeficientes de $x^2,x,1$.

3) Integración de cada bloque elemental

Lineal simple y potencias

$\displaystyle \int \frac{A}{x-r}\,dx=A\,\ln|x-r|+C$

$\displaystyle \int \frac{A_k}{(x-r)^k}dx=\begin{cases}A_1\,\ln|x-r|,&k=1\\[4pt]-\dfrac{A_k}{(k-1)(x-r)^{k-1}},&k\ge2\end{cases}$

Cuadrático irreducible

Completá cuadrado: $ax^2+bx+c=a\big[(x+\tfrac{b}{2a})^2+\alpha^2\big]$, con $\alpha=\sqrt{\tfrac{4ac-b^2}{4a^2}}$.

$\displaystyle \int \frac{Bx+C}{ax^2+bx+c}dx=\frac{B}{2a}\,\ln(ax^2+bx+c)+\frac{2aC-bB}{a}\,\int \frac{dx}{2a\left[(x+\tfrac{b}{2a})^2+\alpha^2\right]}$

y $\displaystyle \int \frac{dx}{(x+u)^2+\alpha^2}=\frac{1}{\alpha}\arctan\!\Big(\frac{x+u}{\alpha}\Big)$.

4) Ejemplos resueltos paso a paso

A) Raíces reales simples. $\displaystyle \int \frac{3x+5}{x^2-1}\,dx$

Factor: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
Ansatz: $\dfrac{3x+5}{x^2-1}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}$.
Coeficientes: $(A+B)x+(A-B)=3x+5$ ⇒ $A+B=3$, $A-B=5$ ⇒ $A=4$, $B=-1$.
Integración: $\int\big(\frac{4}{x-1}-\frac{1}{x+1}\big)dx=4\ln|x-1|-\ln|x+1|+C$.

B) Raíz real múltiple. $\displaystyle \int \frac{2x+1}{(x-1)^2(x+2)}\,dx$

Ansatz: $\dfrac{2x+1}{(x-1)^2(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}+\dfrac{C}{x+2}$.
En $x=1$ ⇒ $B=1$. En $x=-2$ ⇒ $C=-\tfrac{1}{3}$.
Con $x=0$: $\tfrac{1}{2}=-A+1-\tfrac{1}{6}$ ⇒ $A=\tfrac{2}{3}$.
Integración: $\tfrac{2}{3}\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{3}\ln|x+2|+C$.

C) Factor cuadrático irreducible. $\displaystyle \int \frac{2x+3}{x^2+4x+13}\,dx$

Completar cuadrado: $x^2+4x+13=(x+2)^2+9$.
Separar: $\dfrac{2x+3}{x^2+4x+13}=\dfrac{2x+4}{x^2+4x+13}+\dfrac{-1}{x^2+4x+13}$.
Integración: $\ln(x^2+4x+13)-\tfrac{1}{3}\arctan\big(\tfrac{x+2}{3}\big)+C$.

D) Mixto (lineales + cuadrático). $\displaystyle \int \frac{5x^2+7x+3}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}dx$

Ansatz: $\dfrac{5x^2+7x+3}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{Cx+D}{x^2+1}$.
Igualá coeficientes (o evaluá en $x=1,-1$). Se obtiene $A=2,\;B=1,\;C=2,\;D=3$.
Integración: $2\ln|x-1|+\ln|x+1|+\int \dfrac{2x}{x^2+1}dx+\int \dfrac{3}{x^2+1}dx$.
Resultado: $2\ln|x-1|+\ln|x+1|+\ln(x^2+1)+3\arctan x + C$.

5) Checklist rápido

¿Es propia? Si no, dividí polinomios.
Factorizá $Q$ en $\mathbb{R}[x]$.
Elegí el ansatz correcto (simples, múltiples, cuadráticos).
Hallá coeficientes (Heaviside / igualación / evaluación‑derivación).
Integrá cada bloque elemental (log, potencias, arctan).

6) Errores frecuentes

No hacer propia la fracción. Olvidar dividir polinomios.
Factorización incompleta. Falta un factor o se confunde un cuadrático reducible.
Ansatz incorrecto. Poner $A$ en vez de $Ax+B$ sobre un cuadrático.
Coeficientes mal hallados. No expandir bien o mezclar términos al comparar.
Olvidar constantes y valores absolutos. En log: $\ln|\cdot|$.

7) Práctica (18 ejercicios, soluciones desplegables)

1) $\displaystyle \int \frac{2x+1}{x^2-4}dx$

$=\tfrac12\ln|x-2|-\tfrac12\ln|x+2|+C$

2) $\displaystyle \int \frac{5}{x^2-1}dx$

$=\tfrac{5}{2}\ln|x-1|-\tfrac{5}{2}\ln|x+1|+C$

3) $\displaystyle \int \frac{3x-2}{(x+1)^2}dx$

$=3\ln|x+1|+\tfrac{2}{x+1}+C$

4) $\displaystyle \int \frac{1}{(x-3)^3}dx$

$= -\dfrac{1}{2(x-3)^2}+C$

5) $\displaystyle \int \frac{7x+1}{x^2+4x+5}dx$

$=\tfrac{7}{2}\ln(x^2+4x+5)-3\arctan\big(\tfrac{x+2}{1}\big)+C$

6) $\displaystyle \int \frac{2x+5}{x^2+1}dx$

$=\ln(x^2+1)+5\arctan x + C$

7) $\displaystyle \int \frac{1}{x(x-1)}dx$

$=\ln|x|-\ln|x-1|+C$

8) $\displaystyle \int \frac{4x+3}{(x+1)(x^2+4)}dx$

$=\ln|x+1|+\tfrac{1}{2}\ln(x^2+4)+\tfrac{1}{2}\arctan\tfrac{x}{2}+C$

9) $\displaystyle \int \frac{1}{(x+2)^2(x-1)}dx$

$= -\tfrac{1}{3}\ln|x-1|-\tfrac{1}{x+2}+\tfrac{1}{3(x+2)^2}+C$

10) $\displaystyle \int \frac{2x^2+1}{x(x^2+1)}dx$

$=\ln|x|+\ln(x^2+1)-\arctan x + C$

11) $\displaystyle \int \frac{3x+4}{(x-2)(x^2+1)}dx$

$=\tfrac{3}{3}\ln|x-2|+\ln(x^2+1)+\arctan x + C$ (tras hallar coeficientes)

12) $\displaystyle \int \frac{5x+2}{(x^2+1)^2}dx$

$=\tfrac{5}{2}\frac{x}{x^2+1}+\tfrac{2}{2}\arctan x + C$

13) $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+2x+2}dx$

$=\arctan(x+1)+C$

14) $\displaystyle \int \frac{3x+1}{(x-1)^2(x+1)}dx$

$= \tfrac{2}{x-1}+\ln|x-1|-\ln|x+1|+C$

15) $\displaystyle \int \frac{6x+5}{x^2+6x+13}dx$

$=3\ln(x^2+6x+13)-\arctan\big(\tfrac{x+3}{2}\big)+C$

16) $\displaystyle \int \frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}dx$

$=\tfrac{1}{3}\big( \arctan x - \tfrac{1}{2}\arctan \tfrac{x}{2} \big)+C$

17) $\displaystyle \int \frac{x}{(x^2+1)(x-1)}dx$

$=\tfrac{1}{2}\ln(x^2+1)-\ln|x-1|+\tfrac{1}{2}\arctan x + C$

18) $\displaystyle \int \frac{2x+3}{(x+1)^3}dx$

$=2\ln|x+1|-\tfrac{3}{2(x+1)^2}+C$

(Las soluciones muestran la forma final; los pasos se obtienen con el ansatz correspondiente y comparación de coeficientes.)

8) Mini‑test (autocorrección)

Marcá la opción y presioná Corregir. No se guarda nada.

Para $\displaystyle \int \frac{7}{(x-2)(x+2)}dx$ el ansatz correcto es…
$\; \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+2}$

$\; \dfrac{Ax+B}{x^2+4}$
Para un cuadrático irreducible, el numerador debe ser…
$\; \text{constante } C$

$\; Bx+C$
Si $\displaystyle R(x)=\frac{P(x)}{(x-1)^2}$, una parte de la descomposición es…
$\; \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}$

$\; \dfrac{Ax+B}{x^2-2x+1}$

Cálculo I

Análisis · Límites · Derivadas · Aplicaciones

El área de Cálculo I de Académica N2H introduce las bases del análisis matemático: el estudio del cambio, la continuidad y las propiedades fundamentales de las funciones reales.

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Sección de Termodinámica — Académica N2H

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Sección de Termodinámica

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Práctica de Parciales

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Tema 1 — Propiedades y Sistemas

1

Un sistema cerrado…

Elegí la afirmación correcta.

Intercambia masa y energía con el entorno. No intercambia masa, pero puede intercambiar energía (calor/trabajo). No intercambia ni masa ni energía.

Sin responder

2

Un sistema aislado…

Solo intercambia calor. Intercambia calor y trabajo pero no masa. No intercambia ni masa ni energía con el entorno.

Sin responder

3

Marcar las propiedades intensivas:

Temperatura $T$ Presión $P$ Volumen $V$ Volumen específico $v$ Energía interna específica $u$

Sin responder

4

Para pasar de intensiva a extensiva se…

Divide por la masa $m$ Multiplica por la masa $m$ Multiplica por el volumen específico $v$

Sin responder

5

Estado termodinámico:

Conozco su historia. Conozco $V$ y $m$. Asigno suficientes propiedades (p.ej. $P$, $V$, $T$).

Sin responder

6

Funciones de estado:

Sin responder

7

Equilibrio termodinámico:

No hay gradientes finitos de $T$ ni $P$. Hay reacciones netas y flujo. Hay transferencia neta de calor.

Sin responder

8

Proceso cuasiestático reversible:

Con saltos finitos de $P$ y $T$. Cambios diferenciales y sin rozamiento ($L_{roz}\approx 0$). Variables no definidas.

Sin responder

Tema 3 — Gases ideales y mezclas

9

Ecuación de estado (gas ideal):

$P/T=\text{cte}$ $$PV=nRT$$ $V/T=\text{cte}$

Sin responder

10

Ley de Boyle (a $T$ cte):

$$PV=\text{cte}$$ $V/T=\text{cte}$ $P/T=\text{cte}$

Sin responder

11

Ley de Charles (a $P$ cte):

$P/T=\text{cte}$ $V/T=\text{cte}$ $PV=\text{cte}$

Sin responder

12

Ley de Gay-Lussac (a $V$ cte):

$V/T=\text{cte}$ $PV=\text{cte}$ $P/T=\text{cte}$

Sin responder

13

Ley de Avogadro:

$P\propto n$ $V\propto n$ $T\propto n$

Sin responder

14

Fracción molar $x_i$:

$x_i=m_i/m$ $x_i=P/P_i$ $$x_i=\frac{n_i}{\sum n_i}=\frac{P_i}{P_{tot}}$$

Sin responder

15

Constante de gas específica:

$$R=\dfrac{R_u}{M}$$ $R_{mix}=\sum x_iR_i$ (másica) $$R_{mix}=\dfrac{R_u}{M_{mix}}$$

Sin responder

16

Ley de Dalton:

$$P_{tot}=\sum P_i$$ $V_{tot}=\sum V_i$ $T_{tot}=\sum T_i$

Sin responder

17

Parámetros reducidos:

$P_r=P/P_c$ $T_r=T/T_c$ $V_r=V/V_c$

Sin responder

Tema 4 — Transformaciones con gases

18

Adiabático reversible (gas ideal):

$Q=0$ $$PV^{\gamma}=\text{cte}$$ $W=0$ $$TV^{\gamma-1}=\text{cte}$$

Sin responder

19

Isotérmico (gas ideal):

$\Delta U=0$ $W=0$ $Q=W$

Sin responder

20

Trabajo en isotérmico (gas ideal):

$$w_{12}=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)$$ $$w_{12}=nRT\ln\!\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)$$ $w_{12}=0$

Sin responder

21

Trabajo en politrópico ($PV^n=\text{cte}$, $n\ne1$):

$w_{12}=nRT\ln(V_2/V_1)$ $$w_{12}=\dfrac{P_2V_2-P_1V_1}{1-n}$$ $w_{12}=0$

Sin responder

22

Relación de Mayer (gas ideal):

$$c_p-c_v=R$$ $c_p=c_v$ $c_p-c_v=0$

Sin responder

23

Proceso isobárico (sistema cerrado):

$P_1=P_2$ $V_1=V_2$ $\Delta h=0$

Sin responder

Puntaje

0 correctas

Práctica

Marcá las respuestas y presioná Corregir. Con Mostrar respuestas ves la solución en verde.

Tema A — Conceptos y Unidades

1

Propiedad de estado:

Elegí la correcta.

El calor $Q$ es propiedad del sistema. El trabajo $W$ es propiedad del sistema. La energía interna $U$ es propiedad de estado.

Sin responder

2

Elegí las extensivas:

Energía total $E$ Temperatura $T$ Volumen $V$ Presión $P$

Sin responder

3

Conversión de unidades:

¿Cuál es correcta?

$1\ \text{kcal} = 418{,}68\ \text{J}$ $1\ \text{bar} = 100\ \text{kPa}$ $1\ \text{atm} = 100\ \text{kPa}$

Sin responder

Tema B — Primer Principio (Sistemas cerrados)

4

Convención de signos:

En termodinámica clásica (signo “ingenieril”).

$W>0$ si el sistema entrega trabajo al entorno. $W>0$ si el entorno realiza trabajo sobre el sistema. $Q<0$ si entra calor al sistema.

Sin responder

5

Balance de energía (cerrado):

Forma diferencial para cambios de energía interna.

$dU = \delta W - \delta Q$ $dU = \delta Q - \delta W$ $dU = \delta Q + \delta W$

Sin responder

6

Proceso adiabático (definición):

No hay transferencia de calor: $Q=0$. No hay trabajo: $W=0$. Puede haber trabajo y variación de $U$.

Sin responder

Tema C — Gas ideal y procesos

7

Relación de Mayer:

Para gas ideal.

$c_p - c_v = R$ $c_p = \gamma c_v$ $c_v - c_p = R$

Sin responder

8

Isócoro (gas ideal):

Marcar afirmaciones correctas.

$V=\text{cte}$ y $w=0$ (trabajo específico). $q = \Delta u$ (por Primer Principio). $PV=\text{cte}$

Sin responder

9

Politrópico ($PV^n=\text{cte}$, $n\neq 1$):

Trabajo específico entre 1 y 2.

$w=\displaystyle nRT\ln\!\frac{V_2}{V_1}$ $w=\displaystyle \frac{P_2V_2-P_1V_1}{1-n}$ $w=0$

Sin responder

10

Isotermo (gas ideal):

$w = nRT\ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)$ $u$ depende de $P$ y $V$. $ \Delta u = 0 \Rightarrow q = w$

Sin responder

Tema D — Mezclas ideales y aire húmedo (nociones)

11

Fracción molar $x_i$:

$x_i=m_i/m$ $x_i=P/P_i$ $x_i=\dfrac{n_i}{\sum n_i}$ y en gas ideal $x_i=\dfrac{P_i}{P_{tot}}$

Sin responder

12

Ley de Dalton en mezclas ideales:

$P_{tot}=\sum P_i$ $V_{tot}=\sum V_i$ $T_{tot}=\sum T_i$

Sin responder

13

Constante de gas de una mezcla ideal:

$R=\dfrac{R_u}{M}$ $R_{mix}=\sum y_i R_i$ (promedio másico) $R_{mix}=\dfrac{R_u}{M_{mix}}$

Sin responder

Tema E — Trabajo de compresión y frontera móvil

14

Trabajo cuasiestático (cerrado):

Expresión general.

$W=\displaystyle \int_{1}^{2} V\,dP$ $W=\displaystyle \int_{1}^{2} P\,dV$ $W=\Delta(PV)$

Sin responder

15

Signo del trabajo:

Criterio ingenieril.

Expansión: $W>0$ (sale trabajo). Compresión: $W<0$ (entra trabajo). Siempre $W=0$ si $P$ es constante.

Sin responder

Tema F — Volumen de control (sistemas abiertos)

16

Trabajo de flujo:

Magnitud asociada a entrada/salida de masa.

$w_f = Pv$ (por unidad de masa) $w_f = \dfrac{P}{v}$ $w_f = P+v$

Sin responder

17

Energía por unidad de masa en flujo:

¿Qué incluye $h$?

$h = u + Pv$ $h = u + \dfrac{P}{v}$ El término $Pv$ se asocia al trabajo de flujo.

Sin responder

18

Ecuación de energía (flujo, estacionario):

Forma específica (una sola entrada y salida, sin reacción).

$q-w_s = (u_2-u_1)$ $q-w_s = (h_2-h_1)+\dfrac{V_2^2-V_1^2}{2}+g(z_2-z_1)$ $q+w_s = (h_2-h_1)$

Sin responder

Tema G — Sustancia pura y vapor (nociones)

19

Sustancia pura:

Elegí la definición correcta.

Material que no se separa en componentes en el rango de interés. Sustancia químicamente pura (sin impurezas). Cualquier mezcla de gases permanentes.

Sin responder

20

Estados húmedos (vapor-agua):

Marcar lo correcto.

En mezcla saturada, coexisten dos fases. La calidad $x$ es una propiedad intensiva que puede exceder 1. $x=0$ líquido saturado, $x=1$ vapor saturado seco.

Sin responder

Puntaje

0 correctas

Práctica

Marcá las respuestas y presioná Corregir. Con Mostrar respuestas ves la solución en verde.

Tema H — Vapor de agua y equipos (nociones)

1

A presión de saturación fija, el título $x$ es…

La fracción másica de líquido. La fracción másica de vapor en la mezcla saturada. El volumen específico del vapor.

Sin responder

2

En turbina de vapor (estacionario, sin $q$ ni $w_{eje}$ extras):

Despreciando $z$ y variación de $V$ pequeña.

$$w_s \approx h_1 - h_2$$ $$w_s \approx u_1 - u_2$$ $$w_s \approx P_1v_1 - P_2v_2$$

Sin responder

3

En caldera (volumen de control):

Aumenta la entalpía del fluido: $h_{sal} > h_{ent}$. Se extrae trabajo de eje. Hay aporte de calor $q>0$ al fluido.

Sin responder

Tema I — Aire húmedo (nociones)

4

Humedad específica (razón de humedad) del aire:

$$\omega=\dfrac{m_{aire\ seco}}{m_{vapor}}$$ $$\omega=\dfrac{0.622\,P_v}{P - P_v}$$ $$\omega=\dfrac{P-P_v}{0.622\,P_v}$$

Sin responder

5

Humedad relativa $\phi$:

$$\phi=\dfrac{P_v}{P_{v,\;sat}(T)}$$ $$\phi=\dfrac{T_{wb}}{T_{db}}$$ $ \phi = \omega / \omega_{sat} $ (no depende de $T$)

Sin responder

Tema J — Transferencia de calor

6

Ley de Fourier 1D (plano):

$q''=k\,\dfrac{dT}{dx}$ $q = -k\,\dfrac{dT}{dx}$ $$q'' = -\,k\,\dfrac{dT}{dx}$$

Sin responder

7

Conducción 1D, pared plana espesor $L$ (régimen permanente):

$q = k\,\dfrac{T_2-T_1}{L}$ $$\dot Q = k\,A\,\dfrac{T_1 - T_2}{L}$$ $q'' = h\,(T_s-T_\infty)$

Sin responder

8

Radiación térmica (superficie grande a grande):

$$q''=\epsilon \sigma \left(T_s^4 - T_{amb}^4\right)$$ $q''=\sigma (T_s-T_{amb})$ $q''=h_r(T_s-T_{amb})$ siempre

Sin responder

Tema K — Bombas, compresores y boquillas

9

Bomba (líquido incompresible, despreciando $z$ y $V$):

$w_s \approx h_1 - h_2$ $w_s \approx u_2 - u_1$ $$w_s \approx v\,\Delta P \quad(\text{por unidad de masa})$$

Sin responder

10

Boquilla ideal (sin $q$, sin $w_s$):

$$h_1 + \dfrac{V_1^2}{2} \approx h_2 + \dfrac{V_2^2}{2}$$ La velocidad de salida es menor que la de entrada. Si $h$ baja, $V$ sube (intercambio entálpico-cinético).

Sin responder

Tema L — Sustancia pura y tablas de vapor

11

En región saturada (agua):

$T_{sat}$ es función de $P$ (única). $T_{sat}$ y $P$ son independientes. En tablas, $v_f, v_g, u_f, u_g, h_f, h_g$ corresponden a líquido/vapor saturados.

Sin responder

12

Mezcla saturada: propiedad específica $y$:

$y \in \{v,u,h\}$.

$y= y_f + x\,(y_f - y_g)$ $$y= y_f + x\,(y_g - y_f)$$ $y= x\,y_f + (1-x)\,y_g$

Sin responder

Tema M — Continuidad y caudales

13

Ecuación de continuidad (1 entrada, 1 salida, estacionario):

$$\dot m_1 = \dot m_2$$ $$\dot m_1 + \dot m_2 = 0$$ $ \rho A V = 0$

Sin responder

14

Caudal másico:

$$\dot m = \rho\, A\, V$$ $$\dot m = \dfrac{A}{\rho V}$$ $ \dot m = \dfrac{\dot V}{v}$ (con $v$ volumen específico).

Sin responder

Tema N — Propiedades $c_p$, $c_v$, $\gamma$ (gas ideal)

15

Relaciones básicas:

$c_p = c_v$ $c_p - c_v = 0$ $$c_p - c_v = R,\quad \gamma=\dfrac{c_p}{c_v}$$

Sin responder

16

Proceso adiabático reversible (gas ideal):

$$PV^\gamma=\text{cte}$$ $$TV^{\gamma-1}=\text{cte}$$ $Q\neq 0$

Sin responder

Puntaje

0 correctas

Práctica

Marcá las respuestas y presioná Corregir. Con Mostrar respuestas ves la solución en verde.

Bloque 1 — Transformaciones con gases ideales

1

Identificación de proceso:

Si $T=\text{cte}$ y el gas es ideal, entonces…

$PV=\text{cte}$ es falso. $P/T=\text{cte}$ Es isotermo y $PV=\text{cte}$.

Sin responder

2

Isotermo (gas ideal):

$ \Delta u = 0 \Rightarrow q = w$ $w=0$ $$w = nRT\ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)$$

Sin responder

3

Isócoro (volumen constante):

$w=0$ (no hay trabajo de frontera). $q=\Delta u$ (cerrado, gas ideal). $PV=\text{cte}$

Sin responder

4

Isobaro (presión constante, sistema cerrado):

$P_1=P_2$ $ \Delta h = 0$ $q=\Delta h$ (gas ideal).

Sin responder

5

Adiabático reversible (gas ideal):

$$PV^{\gamma}=\text{cte}$$ $$TV^{\gamma-1}=\text{cte}$$ $Q\neq 0$

Sin responder

6

Politrópico general ($PV^n=\text{cte}$, $n\neq 1$): trabajo específico.

$w=nRT\ln(V_2/V_1)$ $$w=\dfrac{P_2V_2-P_1V_1}{1-n}$$ $w=0$

Sin responder

7

Caso especial politrópico con $T=\text{cte}$:

$n=1$ (isotermo). $n=\gamma$ $n=0$

Sin responder

8

Caso especial politrópico adiabático reversible:

$n=1$ $n=\gamma$ $n=0$

Sin responder

9

Relaciones de temperatura en politrópico (gas ideal):

$$\dfrac{T_2}{T_1}=\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}$$ $$\dfrac{T_2}{T_1}=\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{n-1}$$ $$\dfrac{T_2}{T_1}=\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\,n-1}$$

Sin responder

10

Mapeo de $n$ a procesos (gas ideal):

$n=0 \Rightarrow$ isobárico ($P=\text{cte}$) $n=1 \Rightarrow$ isotermo ($T=\text{cte}$) $n=\gamma \Rightarrow$ adiabático reversible

Sin responder

Bloque 2 — Gas ideal y mezclas

11

Ecuación de estado:

$PV=\text{cte}$ siempre $P/T=\text{cte}$ $$PV=nRT$$

Sin responder

12

Constante de gas específica:

$$R=\dfrac{R_u}{M}$$ $R=R_u\,M$ $R$ independe de $M$

Sin responder

13

Ley de Dalton (mezcla ideal):

$V_{tot}=\sum V_i$ $$P_{tot}=\sum P_i$$ $T_{tot}=\sum T_i$

Sin responder

14

Fracción molar $x_i$ y presión parcial:

$x_i=m_i/m$ $x_i=P/P_i$ $$x_i=\dfrac{n_i}{\sum n_i},\qquad P_i=x_i\,P_{tot}$$

Sin responder

15

Masa, moles y masa molar de mezcla:

$$M_{mix}=\sum x_i\,M_i$$ $$M_{mix}=\sum y_i\,M_i$$ $M_{mix}$ no depende de composición.

Sin responder

16

Constante de gas de la mezcla (base molar):

$R_{mix}=\sum x_i R_i$ (incorrecto en molar) $$R_{mix}=\dfrac{R_u}{M_{mix}}$$ $R_{mix}$ es igual a $R_u$ siempre

Sin responder

17

$c_p$ y $c_v$ de mezcla ideal:

En base molar: $c_{p,\,mix}=\sum x_i\,c_{p,i}$ En base molar: $c_{v,\,mix}=\sum y_i\,c_{v,i}$ En base másica: $c_{p,\,mix}=\sum y_i\,c_{p,i}$

Sin responder

18

Criterio de idealidad (mezclas gaseosas):

Bajas presiones y altas temperaturas $\Rightarrow$ $Z\to 1$ Altas presiones siempre ideales La idealidad no depende de $P$ ni $T$

Sin responder

19

Relación de Mayer y $\gamma$ (gas ideal):

$c_p=c_v$ $c_p-c_v=0$ $$c_p-c_v=R,\quad \gamma=\dfrac{c_p}{c_v}$$

Sin responder

20

Definiciones clave en mezcla (repaso):

$x_i=\dfrac{n_i}{\sum n_i}$ (molar) $y_i=\dfrac{n_i}{\sum n_i}$ (másico) $y_i=\dfrac{m_i}{\sum m_i}$ (másico)

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🧠 Parcial Mixto — Termodinámica

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Preguntas seleccionadas

Puntaje

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0) ¿Qué es una función racional y cuándo aplicar fracciones parciales?

1) Formas canónicas de la descomposición

2) Cómo hallar los coeficientes

Heaviside (raíces simples)

Repetidas $(x-r)^m$

Cuadrática irreducible

3) Integración de cada bloque elemental

Lineal simple y potencias

Cuadrático irreducible

4) Ejemplos resueltos paso a paso

5) Checklist rápido

6) Errores frecuentes

7) Práctica (18 ejercicios, soluciones desplegables)

8) Mini‑test (autocorrección)

Práctica de Álgebra 📐

3er Parcial: Espacios Vectoriales, Bases y Dimensión

Resumen de Teoría

Ejercicios de Práctica

Ejercicios Tipo Parcial

4to Parcial (Próximamente)

Cálculo I

Sección de Termodinámica

Simulador de Exámenes de Termodinámica

Práctica de Parciales

Tema 1 — Propiedades y Sistemas

Tema 3 — Gases ideales y mezclas

Tema 4 — Transformaciones con gases

Práctica

Tema A — Conceptos y Unidades

Tema B — Primer Principio (Sistemas cerrados)

Tema C — Gas ideal y procesos

Tema D — Mezclas ideales y aire húmedo (nociones)

Tema E — Trabajo de compresión y frontera móvil

Tema F — Volumen de control (sistemas abiertos)

Tema G — Sustancia pura y vapor (nociones)

Práctica

Tema H — Vapor de agua y equipos (nociones)

Tema I — Aire húmedo (nociones)

Tema J — Transferencia de calor

Tema K — Bombas, compresores y boquillas

Tema L — Sustancia pura y tablas de vapor

Tema M — Continuidad y caudales

Tema N — Propiedades $c_p$, $c_v$, $\gamma$ (gas ideal)

Práctica

Bloque 1 — Transformaciones con gases ideales

Bloque 2 — Gas ideal y mezclas

🧠 Parcial Mixto — Termodinámica

Preguntas seleccionadas

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